Вавилонская математика
Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500000, из них около 400 связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных Вавилонского государства. Отметим, что корни культуры вавилонян были в значительной степени унаследованы от шумеров — клинописное письмо, счётная методика и т. п. [1]
Вавилонские математические тексты носят преимущественно учебный характер. Из них видно, что вавилонская расчётная техника была намного совершеннее египетской, а круг решаемых задач существенно шире. Есть задачи на решение уравнений второй степени, геометрические прогрессии. При решении применялись пропорции, средние арифметические, проценты. Методы работы с прогрессиями были глубже, чем у египтян. Линейные и квадратные уравнения решались ещё в эпоху Хаммурапи; при этом использовалась геометрическая терминология (произведение ab называлось площадью, abc — объёмом, и т.д.). Многие значки для одночленов были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих алгоритмов; эти значки употреблялись, как буквенные обозначения неизвестных в нашей алгебре. Встречаются также кубические уравнения и системы линейных уравнений. Венцом планиметрии была теорема Пифагора.
Как и в египетских текстах, излагается только алгоритм решения (на конкретных примерах), без комментариев и доказательств. Однако анализ алгоритмов показывает, что общая математическая теория у вавилонян несомненно была.
Шумеры и вавилоняне использовали 60-ричную позиционную систему счисления, увековеченную в нашем делении круга на 360°, часа на 60 минут и минуты на 60 секунд. Писали они, как и мы, слева направо. Однако запись необходимых 60 цифр была своеобразной. Значков для цифр было всего два, обозначим их Е (единицы) и Д (десятки); позже появился значок для нуля. Цифры от 1 до 9 изображались как Е, ЕЕ, … ЕЕЕЕЕЕЕЕЕ. Далее шли Д, ДЕ, … ДДДДДЕЕЕЕЕЕЕЕЕ (59). Таким образом, число изображалось в позиционной 60-ричной системе, а его 60-ричные цифры — в аддитивной десятичной. Аналогично записывались дроби. Для популярных дробей 1/2, 1/3 и 2/3 были специальные значки.
В современной научной литературе для удобства используется компактная запись вавилонского числа, например:
Расшифровывается эта запись следующим образом: 4 × 3600 + 2 × 60 + 10 + 46/60 + 52/3600
Для вычисления квадратных корней вавилоняне изобрели итерационный процесс: новое приближение получалось из предыдущего по формуле метода Ньютона [3] :
В геометрии рассматривались те же фигуры, что и в Египте, плюс сегмент круга и усечённый конус. В ранних документах полагают 
; позже встречается приближение 25/8 = 3,125. Встречается также и необычное правило: площадь круга есть 1/12 от квадрата длины окружности, т.е. 
. Впервые появляется (ещё при Хаммурапи) теорема Пифагора, причём в общем виде; она снабжалась особыми таблицами и широко применялась при решении разных задач. Вавилоняне умели вычислять площади правильных многоугольников; видимо, им был знаком принцип подобия. Для площади неправильных четырёхугольников использовалась та же приближённая формула, что и в Египте: 
.
Всё же богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приёмов, лишённых доказательной базы. Систематический доказательный подход в математике появился только у греков.
Математика древней Вавилонии
Завоевав Месопотамию, вавилоняне унаследовали культуру Шумера и Аккада, приняли аккадский язык, сохранив мифы шумеров и поклонения их богам.
При правлении царя Хаммурапи Вавилон превратился в столицу Аморейского царства, которое стало империей, вобравшей в себя всю Южную Месопотамию.
Хаммурапи считается величайшим из царей первой династии Вавилона.
Свод законов Хаммурапи созданный в конце его правления (в 1750-х годах до н. э.), является одним из древнейших законодательных памятников.
Этот свод из 282 законов (37 уничтожено) представляет собой чёрный базальтовый столб.
Законы выбиты клинописью на обеих сторонах столба на классическом вавилонском диалекте аккадского языка.
Аккадский язык во II тысячелетии до н. э. стал общепризнанным языком дипломатической переписки.
Клинописью написаны многочисленные документы, религиозные тексты, сказания. Вавилонскую клинопись изучали даже в писцовых школах Египта.
Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, более 500 тысяч которых дошли до наших дней (из них около 400 — связаны с математикой). Математика древней Вавилонии была создана к концу III тысячелетия до н. э.
В вавилонской математике был осуществлён принцип, согласно которому одна и та же цифра имеет различную числовую значимость в зависимости от места, занимаемого ею в числовом контексте — позиционная система.
Шумеры и вавилоняне использовали 60-ричную позиционную систему счисления, увековеченную в нашем делении круга на 360°, часа на 60 минут и минуты на 60 секунд.
Вавилонская расчётная техника была намного совершеннее египетской.
На вавилонских табличках есть задачи на решение уравнений второй степени, геометрические прогрессии.
При решении применялись пропорции, средние арифметические, проценты. Встречаются также кубические уравнения. Линейные и квадратные уравнения решались ещё в эпоху Хаммурапи в XVIII в. до н. э.
Вавилоняне развили 60-ричную систему вычисления до уровня арифметической виртуозности.
Древний Вавилон обладал формулой для вычисления квадратного корня 2 с точностью до пяти знаков после запятой (1,41421…) на основе 60-ричного счисления.
За тысячу лет до открытий Пифагора вавилонянам была известна формула построения всех пифагорейских форм (например, треугольника со сторонами 3, 4, и 5).
Вавилоняне умели вычислять площади правильных многоугольников и площадь круга. В ранних документах упоминается значение π = 3; позже применялось значение π = 3,125.
Вавилонские математики являлись основоположниками алгебры, поскольку они решали уравнения с тремя неизвестными, они могли также извлекать квадратные и кубические корни.
Вавилонские писцы решали планиметрические задачи, используя свойства прямоугольных треугольников, сформулированные впоследствии в виде пифагоровой теоремы, а в стереометрии решали такую сложную задачу, как измерение объёма усечённой пирамиды.
Ассирийский царь Саргон II (VIII столетие до н. э.) первым использовал гематрические принципы (каждой букве алфавита соответствует определенное число).
При возведении стены Дур-Шаррукин (Крепость Саргона) он использовал число 16283 — протяженность стены в кубитах (1 кубит = 45,72 сантиметра), соответствовавшая числовой характеристике его имени.
Число 60 — основание вавилонской шестидесятеричной системы счисления, используется до сих пор в исчислении времени и углов.
Шестидесятилетний цикл использует Китайский циклический календарь, который является комбинацией циклов по 10 лет («небесные стволы») и по 12 лет («земные ветви»). Половина сочетаний (у которых разная чётность) не используется, таким образом, календарный цикл повторяется через 10·12/2=60 лет.
Теолог Сергей Неаполитанский в книге «Сакральная геометрия» пишет:
«часы со стрелками — это живая реликвия, доставшаяся нам в наследство от шумеров. Сам циферблат можно рассматривать как мандалу — символ отмеренного времени и вечного движения».
О математике Древнего Вавилона
О математике Древнего Вавилона
Во-первых, мы будем называть Вавилоном комплекс государств, которые, по мнению традиционной истории, сменяли друг друга на территории междуречья Тигра и Евфрата. От этих государств дошло до нас около ста тысяч глиняных табличек с записями, сделанными клинописью. Однако табличек с текстами математического содержания известно только около 50, а математических таблиц без текста – около 200.
Клинописный текст ВМ 85194 содержит 16 задач с решениями. Задачи относятся к плотинам, валам, колодцам, водяным часам и земельным работам. Четвертая задача, снабженная чертежом, относится к круговому валу. 14-я задача рассматривает усеченный конус. Объем его определяется умножением высоты на полусумму площадей верхнего и нижнего оснований.
Вавилонская система имеет два основных элемента: «клин» V с числовым значением 1 и «крючок» ‹ с числовым значением 10. Повторением этих знаков можно записать числа от 1 до 59. Любое число записывается слева направо по принципу N = a 060 0 + a 160 1 +…
Таким образом, система счисления оказывается позиционной шестидесятиричной. Однако эта система не знает нуля. При отсутствии промежуточного разряда употреблялся специальный знак, игравший роль нуля. Но отсутствие низшего разряда не обозначалось. Таким образом, число, обозначающееся тремя единицами, можно было считать и как 3, и как 180, и как 10 800, и т. д. Различить их можно было только по смыслу текста.
Запись 3 могла также означать 3/60, 3/3600 и т. д., подобно тому, как числа 0,3, 0,03, 0,003 и т. д. в десятичной системе. Вот что значит наличие позиционной системы и отсутствие нуля!
Наряду с шестидесятиричной системой нумерации вавилоняне пользовались и десятичной системой, но она не была позиционной. В ней, кроме знаков для 1 и 10, существовали знаки для 100, 1000 и 10 000.
Вообще возникновение такой системы не очень понятно. Возможно, шестидесятеричная система существовала здесь и раньше, но люди, умевшие писать, были людьми другой культуры и поэтому, сохранив шестидесятеричную систему, стали использовать не двенадцатиричную, а десятичную. Это могло произойти и под влиянием Византии, где шестидесятеричная система выводится из геометрии. Самое простое – делить окружность на шесть частей, которые потом делятся на 10 частей. Как бы то ни было, мы сегодня не знаем, когда и как возникла здесь шестидесятеричная система. На этот счет строилось много гипотез, но ни одна пока не доказана.
Интересно, что хотя шестидесятеричная запись целых чисел не получила распространения за пределами ассиро-вавилонского царства, шестидесятеричные дроби проникли далеко за эти пределы: в страны Ближнего Востока, Средней Азии, в Северную Африку и Западную Европу. Они широко применялись, особенно в астрономии, вплоть до изобретения десятичных дробей, то есть до начала XVII века. Следы шестидесятеричных дробей сохраняются и поныне в делении углового и дугового градуса, а также часа на 60 минут и минуты на 60 секунд.
Содержание табличек показывает, что на основе этой системы были созданы многие единообразные правила арифметических действий как с целыми числами, так и с дробями. Для облегчения действий существовали таблицы умножения (от 1?1 до 60?60). При перемножении больших чисел с помощью таблицы находились частичные произведения, которые затем складывались. Деление производилось с помощью таблиц обратных значений. А кроме них, использовали таблицу квадратов целых чисел, их кубов, обращенные таблицы (квадратных корней), таблицы чисел вида п 2 + п 3 и т. д.
В ряде вавилонских текстов содержится исчисление процентов (на самом деле это не проценты как одна сотая часть числа, а одна шестидесятая часть числа) за долги, пропорциональное деление. Ряд текстов посвящен решению задач, которые с современной точки зрения сводятся к уравнениям 1-й, 2-й и даже 3-й степени.
Геометрические знания вавилонян содержали помимо общих типов задач также начатки измерения углов и тригонометрических соотношений. В основном, впрочем, они тоже состояли из вычислений площадей и объемов прямолинейных фигур, обычных для элементарной геометрии. Площадь круга вычислялась по формуле S = c 2/12 (где с – длина окружности), откуда получается плохое еще приближение «пи» = 3.
Внимание ряда исследователей привлекала и пленяла высокая алгоритмичность, проявленная в математических текстах Вавилона. Это давало повод к высказыванию предположений, что в те времена культивировались общие методы, отвлеченные от конкретных задач и представлявшие своеобразную алгебру. Однако существуют и более осторожные оценки математических достижений вавилонян. Мы же можем сказать, что вавилонские математические традиции лежат в русле развития математики сопредельных государств Ближнего Востока. Они являются ранним этапом этого развития, вместе с математикой ранней Византии, из которой многое позаимствовали.
Данный текст является ознакомительным фрагментом.
Продолжение на ЛитРес
Читайте также
ПОТОПЫ АССИРИИ, ВАВИЛОНА И ДРЕВНЕГО ШУМЕРА
ПОТОПЫ АССИРИИ, ВАВИЛОНА И ДРЕВНЕГО ШУМЕРА Из Древней Греции и греческих городов Малой Азии перенесемся вначале в Ассирию и Вавилонию. Перенесемся на восток, на плодородные земли вдоль рек и горных отрогов Загроса, в верховья Тигра и район Среднего Евфрата.Ассирийская
О математике Древнего Египта
О математике Древнего Египта Все наши познания о древнеегипетской математике основаны главным образом на двух больших папирусах математического характера и на нескольких небольших отрывках.Один из больших папирусов носит название математического папируса Ринда (по
О математике Китая
О математике Китая Сведения о математических познаниях китайцев в древности крайне скудны и разрозненны. Самым ранним математическим сочинением, если не считать трактата о чжоу-би (солнечных часах), называют трактат «Математика в девяти книгах». Считается, что это
О математике Индии
О математике Индии В средневековой математике Индии преобладали вычислительно-алгоритмические методы и отсутствовали попытки построения дедуктивных систем. Геометрия индийцев – также практическая. И это неудивительно, так как в основном все сюда приносилось из
Переход к современной математике
Переход к современной математике Успехи Кеплера в расчете пройденного планетой пути по известной скорости ее движения, о чем мы говорили в одной из предыдущих главок, стали первым шагом в новой науке – интегральном исчислении. Сам Кеплер воспринимал его просто: как
Исторические источники, что сообщают нам о периоде Древнего царства в истории Древнего Египта :
Исторические источники, что сообщают нам о периоде Древнего царства в истории Древнего Египта : Геродот из Галикарнаса – древнегреческий историк прозванный «отцом истории». Одна из его книг была посвящена истории Древнего Египта.Манефон – египетский историк, верховный
ПАДЕНИЕ ВАВИЛОНА
ПАДЕНИЕ ВАВИЛОНА Восстани, господи, пошто спиши? Савонарола. Простые люди из ремесленных кварталов были далеки от мира искусства; они видели лишь нужду и то, что Лоренцо не помогал беднякам так, как его дед Козимо. Новый правитель был окружен новой знатью, роскошь которой
Капитуляция Вавилона и Суз
Капитуляция Вавилона и Суз Когда победитель подошел к городу, вновь процветающему после разрушения Ксерксом, он был встречен жрецами и представителями знати, которые принесли свои дары и обещание отдать сокровища Вавилона. После этого персидский сатрап Мазей мог только
Классические образцы литературных произведений древнего Вавилона и Ассирии
Классические образцы литературных произведений древнего Вавилона и Ассирии Рассмотрим наиболее яркие примеры литературных произведений. Прежде всего остановимся на диалоге господина и раба «О смысле жизни» конца II тысячелетия до н. э.Некий попавший в немилость
Глава 5. Разведка древнего Вавилона и Иудеи
Глава 5. Разведка древнего Вавилона и Иудеи Вавилония — страна, расположенная в низовьях Евфрата и Тигра, — издревле славилась необыкновенно плодородными землями. Прямым следствием этого явилось возникновение развитой цивилизации, которая существовала здесь уже в 4-м и
§ 7. Право Древнего Вавилона (Законы царя Хаммурапи)
§ 7. Право Древнего Вавилона (Законы царя Хаммурапи) Законы древневавилонского правителя Хаммурапи (см. § 4.1) считаются одними из древнейших в мире. По своему содержанию и по юридическому значению эти законы стали самым важным памятником всего древневосточного права,
2.4.11. Линейно-стадиальное понимание истории и советская (ныне российская) историология древнего мира вообще, историология Древнего Востока в первую очередь
2.4.11. Линейно-стадиальное понимание истории и советская (ныне российская) историология древнего мира вообще, историология Древнего Востока в первую очередь Сейчас у нас принято изображать советских историков как несчастных жертв марксистского диктата. В этом,
Потопы Ассирии, Вавилона и Древнего Шумера
Потопы Ассирии, Вавилона и Древнего Шумера Из Древней Греции и греческих городов Малой Азии перенесёмся вначале в Ассирию и Вавилонию. Перенесёмся на восток на плодородные земли вдоль рек и горных отрогов Загроса, в верховья Тигра и район Среднего Евфрата.Ассирийская
§ 40. Проклятие Вавилона
§ 40. Проклятие Вавилона Баварский солдат Иоганн Шильтбергер, будучи пленником Тамерлана, провел много лет на Востоке. Участвовал в чужих битвах и видел знаменитые города и местности. Странствия Шильтбергера продлились более тридцати лет, с 1394 по 1427 г. Когда ему удалось
§ 11. Существуют ли в математике предрассудки?
§ 11. Существуют ли в математике предрассудки? Математика считается точной и доказательной наукой, которая опирается на обоснованные определения и строгие доказательства. Поэтому ее теоремы считаются безусловно верными и не подлежащими сомнению. Предрассудкам (т. е.
Вавилонская математика
Наше изначальное представление о форме и числе относится к очень далекой эпохе каменного века. Числовые термины и все, что с ними связано, входили в обиход человека медленно, постепенно. Первыми счет использовали охотники, рыболовы, а затем торговцы и землевладельцы. Счет был просто необходим человеку в быту, с его помощью он вел торговлю, обмен, следил за поголовьем скота и прочим. Первыми существенными достижениями в развитии арифметики можно назвать формирование четырех основных действий: деление, умножение, сложение, вычитание, а также концептуализация самого числа.
Главную роль в эволюции математики сыграли Египет и Вавилон. Народ и научные деятели этих цивилизаций внесли огромнейшую лепту в развитие геометрии, арифметики и даже положили начало зарождению алгебры.
Вавилон – родина математики как науки
Источником наших познаний о вавилонской цивилизации являются глиняные таблички, которые датируются от 2000 г. до н.э. и до 300 г. н.э. Эти таблички покрыты различными клинописными текстами и очень хорошо сохранились до наших дней. Исходя из того, что написано в этих документах, можно с уверенностью сказать, что математика во всех ее представлениях была очень хорошо развита на то время в Вавилоне.
Вавилонская глиняная табличка (около 1800 г. до н.э.)
В основном математика у вавилонцев была связана с бытом и ведением хозяйства. Арифметика и даже простая алгебра использовалась при расчете товаров, обмене денег, вычитании процентов как простых, так и сложных. Огромное количество задач возникло при строительстве зернохранилищ, каналов и других полезных сооружений. Еще одной из главных задач математики в Вавилоне было составление календаря. Календарь – это очень важный элемент этой цивилизации, так как именно на него опирались вавилонцы, создавая график сельскохозяйственных работ, а также празднуя религиозные праздники.
Вавилонская расчетная техника была намного более совершенной в отличие от египетской, и, соответственно, спектр решаемых задач был шире. Еще за почти 2000 лет до н.э. в Вавилоне были созданы таблицы умножения, таблицы квадратных и кубических корней, квадратов последовательных цельных чисел, сумм кубов и квадратов, использовались правила суммирования прогрессий, в задачах применялись пропорции, проценты и прочее.
Исходя из вышесказанного, можно с уверенностью сказать, что вавилонская математика очень быстро развивалась и стремительно совершенствовалась. Примерно в 700 году до н.э. эта древняя цивилизация стала использовать свои математические познания для изучения движения планет и Луны. Это в свою очередь дало хороший толчок для развития астрологии и астрономии.
Выбранный для просмотра документ Презентация1.pptx
Описание презентации по отдельным слайдам:
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Специфика преподавания предмета «Родной (русский) язык» с учетом реализации ФГОС НОО
Курс повышения квалификации
Скоростное чтение
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-600734
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года
Время чтения: 1 минута
Минобрнауки учредит именные стипендии для студентов из малочисленных народов
Время чтения: 1 минута
На базе колледжей создадут программы профориентации
Время чтения: 2 минуты
Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов
Время чтения: 2 минуты
Минпросвещения работает над единым подходом к профилактике девиантного поведения детей
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.