Этот раздел содержит задачи ЕГЭ по математике на темы, связанные с нахождением характеристик геометрических тел.
В ЕГЭ 2022 базового уровня задачи на шар и сферу могут встретиться под номерами 13 или 16.
Задачи, содержащие сферу и шар.
Вспомним еще одно очень похожее определение:
Таким образом, чтобы не смущал вопрос «Чем сфера отличается от шара?», зрительно представьте себе, что сфера это «полый шар» или шар это «заполненная сфера». Более строго математическим языком можно сказать так:
Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
Сравните «Всякое сечение сферы плоскостью есть окружность.«
Большим кругом (или большой окружностью) называется сечение плоскостью, проходящей через центр.
Шар, так же, как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра, как оси.
Пусть символом R обозначен радиус шара (сферы), а в точке О находится её центр.
верны следующие формулы.
Радиус сечения шара плоскостью
Объём шарового сегмента высотой Н
Объём шарового сектора
Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 1. Найдите площадь его поверхности.
Многогранник описан около сферы, следовательно, многогранник снаружи, сфера внутри, и все грани многогранника являются касательными плоскостями сферы.
Совместим центр шара и центр параллелепипеда и построим сечения упомянутыми плоскостями симметрии параллелепипеда. Они же будут и плоскостями симметрии сферы.
Одна из этих плоскостей, параллельна основаниям. Вторая представлена на моём рисунке ниже. О третьей подумайте самостоятельно.
Проводим вычисления:
Радиус сферы R = 1. Значит сторона квадрата равна 2. Площадь одной из граней, площадь квадрата, равна 4. А площадь поверхности всего куба – это суммарная площадь всех шести граней, т.е. 6×4 = 24.
Ответ:24
Пример 2
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 28. Найдите объём конуса.
Конус имеет ось вращения, которая совпадает с одним из диаметров шара. Построим сечение плоскостью, проходящей через эту ось. В сечении получится большой круг и вписанный в него треугольник. Если радиус основания конуса меньше радиуса шара, то в зависимости от высоты конуса, основание треугольника будет находиться ниже или выше центра шара. На рисунке сечений это показано красным контуром или зеленым, соответственно.
По условию задачи радиус основания конуса равен радиусу шара, значит в нашей задаче основание конуса совпадает с большим кругом шара, а рассматриваемому осевому сечению соответствует положение треугольника ABC на нижнем рисунке.
Решение
Объём конуса находится по формуле
Здесь r – радиус основания конуса, на нашем рисунке он совпадает с OC и, следовательно, с радиусом шара R, h – высота конуса, на чертеже она совпадает с отрезком OB, который также является радиусом шара R.
Подставим R вместо r и h в формулу для объёма конуса.
Чтобы определить радиус шара, воспользуемся формулой для его объёма. Ведь именно эта величина дана в условии задачи.
28 = 4 _ 3 πR 3 ; 28·3 = 4πR 3 ; R 3 = 28·3 ____ 4π = 21 __ π
Подставляем эту величину в полученную выше формулу объёма конуса
Vкон. = 1 _ 3 πR 3 = 1 _ 3 π· 21 __ π = 7.
(Последнюю дробь сократили на 3 и на π.)
Ответ: 7
Теперь проверьте себя.
Задача 1
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 6. Найдите объём шара.
Задача обратная к приведенной в Примере 2.
Проводим те же рассуждения, строим те же чертежи и используем те же формулы.
r (радиус конуса) = R (радиус шара) по условию задачи.
h (высота конуса) = R (радиус шара) из чертежа сечения.
Сравним полученное выражение с формулой объёма шара
Они отличаются только коэффициентом 4, т.е. объем шара в 4 раза больше объёма конуса. Таким образом,
Ответ: 24
Задача 2
Преобразуем уравнение и решаем его относительно x.
(2· √3 _ ) 2 = x 2 + ( √2 _ ·x) 2 ;
4·3 = x 2 + 2·x 2 ;
12 = 3x 2 ;
x 2 = 4; x = 2.
Вычисляем объём куба V = x 3 = 2 3 = 8.
Ответ: 8
Задача 3
Куб описан около сферы радиуса 6,5. Найдите объём куба.
Если Вы внимательно читали решение примера 1, то уже поняли, что ребро куба равно удвоенному радиусу, т.е. диаметру, описанной сферы.
a = 2·R = 2·6,5 = 13;
V = 13 3 = 13 2 ·13 = 169·13 = 2197.
Ответ: 2197
Задача 4
Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.
Сравнивая эти два выражения, видим, что площадь поверхности шара в 4 раза больше площади круга, следовательно
Ответ: 12
Задача 5
Дано два шара. Радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Чтобы ответить на вопрос задачи, составим отношение площадей
Ответ: 4
Задача 6
Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Замечание: Если вы плохо помните тему «Подобие фигур», то задачу можно решить с использованием формул для площади поверхности и объёма шара, как это было показано в решении задачи 5.
Ответ: 9
Задача 7
Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шара.
Сравниваем с формулой поверхности шара: Sшара : Sцил. = 4πR 2 : 6πR 2 = 2:3.
Таким образом, площадь шара составляет две третьих площади цилиндра: Sшара = 18·2/3 = 12.
Замечание: Если забыты формулы для цилиндра, их можно повторить, перейдя по ссылке.
Ответ: 12
Вернуться к списку заданий первой части профильного уровня ЕГЭ по математке.